Mémoriser la méthode de Schröder comme stratégie efficace pour estimer les racines d'une multiplicité inconnue

Abstrait:

Dans cet article, nous proposons, au meilleur de nos connaissances, le premier schéma itératif avec mémoire pour trouver des racines dont la multiplicité est inconnue existant dans la littérature. Il améliore l’efficacité d’une procédure similaire sans mémoire grâce à Schröder et peut être considéré comme une graine pour générer des méthodes d’ordre supérieur avec des caractéristiques similaires. Une fois son ordre de convergence étudié, sa stabilité est analysée montrant ses bonnes propriétés, et elle est comparée numériquement en termes de bassins d'attraction avec des schémas similaires sans mémoire pour trouver des racines multiples.

La mémoire est une partie importante de l’intelligence humaine et une nécessité pour l’apprentissage, la pensée, la création et la vie humaine. Mais beaucoup de gens trouvent que leur mémoire est insuffisante et oublient souvent des choses importantes. La qualité de la mémoire est étroitement liée à l'itération de la mémoire.

La soi-disant itération de la mémoire fait référence au renforcement et à la consolidation continus de la mémoire dans le processus d'apprentissage répété d'un certain point de connaissance ou d'une certaine compétence, et finalement transformée en mémoire à long terme. Ce processus permet non seulement de consolider les souvenirs mais également d’en améliorer la quantité et la qualité.

Alors, comment bien itérer la mémoire ? Tout d’abord, il est nécessaire de bien comprendre le contenu de l’apprentissage. Ce n’est que par une compréhension profonde que la connaissance peut véritablement s’imprimer dans l’esprit et éviter l’oubli. Deuxièmement, continuez à réviser. La révision répétée des connaissances acquises aide le cerveau à approfondir l’impression de reconnaissance, de raisonnement et de compréhension des connaissances, améliorant ainsi la mémoire à long terme. Enfin, utilisez diverses méthodes pour faciliter l’itération sur la mémoire. Par exemple, vous pouvez approfondir votre mémoire en créant des cartes mentales, en racontant, etc.

En bref, la mémoire itérative est un processus complexe et important qui nécessite des efforts et de la persévérance continus. Ce n'est qu'en traitant la mémoire itérative comme un mode de vie et en l'intégrant dans tous les aspects des études, du travail et de la vie quotidiennes que nous pourrons améliorer continuellement notre mémoire, nous permettre de mieux faire face aux défis complexes d'apprentissage et de travail et montrer un nouveau style personnel. La pâte de viande est une matière médicinale traditionnelle chinoise qui a de nombreux effets uniques, dont l'amélioration de la mémoire. L'efficacité de la viande hachée provient d'une variété d'ingrédients actifs qu'elle contient, notamment de l'acide carboxylique, des polysaccharides, des flavonoïdes, etc. Ces ingrédients peuvent favoriser la santé du cerveau par divers canaux.

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Mots clés:

Équations non linéaires ; méthodes itératives avec mémoire ; plusieurs racines; sans dérivés ; efficacité; la stabilité.

1. Présentation

Il existe dans la littérature (voir par exemple Référence [1–8]) de nombreuses méthodes itératives sans mémoire, impliquant ou non des dérivées, conçues pour estimer les racines multiples d'une équation non linéaire f(x)=0, mais la plupart d'entre eux ont besoin de connaître la multiplicité m de ces racines.

Il est bien connu que la méthode de Schröder [9] :

étant un paramètre réel, nécessite 4 évaluations de fonction par étape et n'est plus sans dérivée. Cette méthode de Traub-Steffensen sur g est trop coûteuse et n'est pas davantage prise en compte.

Le principal avantage du schéma de Schröder est son indépendance de la connaissance de la multiplicité de la fonction non linéaire, contrairement à la méthode modifiée de Newton pour les racines multiples,

où m est la multiplicité de , qu'il faut connaître dans ce cas. Ce schéma était également dû à Schröder (voir également la référence [9]), et nous le désignons par SM2. Ce schéma est convergent du second ordre et, par conséquent, optimal, au sens de la conjecture de Kung-Traub (car il utilise deux nouvelles évaluations fonctionnelles par itération ; voir référence [10]). Cependant, il a besoin de la connaissance de la multiplicité, alors que SM1 ne l'utilise pas ; néanmoins, le principal inconvénient du schéma SM1 est sa faible efficacité, car il doit évaluer trois fonctions non linéaires (f(x), f 0 (x) et f 00(x)) par itération.

Notre objectif dans ce manuscrit est double : d'un côté, nous souhaitons augmenter l'efficacité du schéma SM1, en conservant sa capacité à trouver plusieurs racines de multiplicité m sans connaître m et, d'un autre côté, les combiner dans le même algorithme. la capacité de trouver plusieurs racines en utilisant plus d’une itération précédente. Nous proposons donc un schéma itératif avec mémoire pour estimer des racines multiples de multiplicité inconnue. A notre connaissance, il n’existe dans la littérature aucune procédure itérative satisfaisant ces propriétés.

Dans l'analyse de la convergence du schéma proposé, certains aspects doivent être pris en compte, car il s'agit d'une méthode itérative avec mémoire donc l'erreur de plusieurs itérations précédentes doit être prise en compte et la multiplicité de la racine m doit également être un élément clé. de la démonstration, bien que sa valeur spécifique ne soit pas connue. Concernant ce fait, il convient de noter que f (q) ( ) {{0}} pour q=1, 2, . . . , m − 1 et f (m) ( ) 6= 0. Ainsi, les développements de Taylor autour de f et f 0 apparaissant dans l'expression itérative devraient prendre en compte cette information.

D’autre part, comme notre schéma proposé est une procédure itérative qui utilise trois itérations précédentes pour calculer la suivante, il est nécessaire d’exprimer l’équation d’erreur en termes de leurs erreurs correspondantes et, d’en déduire son ordre de convergence. Ceci est réalisé en utilisant un résultat classique d'Ortega et Rheinboldt [11], présenté ci-dessous.

Théorème 1. Soit ψ une méthode itérative avec mémoire qui génère une suite {xk} d'approximations de la racine , et que cette suite converge vers . S'il existe une constante non nulle η et des nombres positifs ti, i=0, 1, . . . , m, tel que l'inégalité

Dans ce manuscrit, la section 2 est consacrée à la conception et à l'analyse de convergence de la méthode itérative sans dérivée avec mémoire proposée pour trouver des racines multiples (sans la connaissance de sa multiplicité). Dans la section 3, sa stabilité est analysée pour en déduire sa dépendance aux estimations initiales pour les racines simples et multiples. Dans la section 4, les performances numériques de la méthode sont vérifiées sur plusieurs fonctions de test analysées, ainsi que leurs bassins d'attraction correspondants, en comparaison avec les méthodes Schröder existantes.

2. Conception et analyse de convergence

Notre point de départ est le schéma sans dérivée avec mémoire dû à Traub [12],

Le principal avantage de ce schéma est sa capacité à trouver des racines simples et multiples d’une fonction non linéaire sans connaître la multiplicité, avec une meilleure efficacité que SM1. Certes, en utilisant l'indice d'efficacité d'Ostrowski [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 est inférieur à IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, où chaque indice I est calculé comme p 1 d, avec p étant l’ordre de convergence de la méthode, et d le nombre de nouvelles évaluations fonctionnelles par itération.

Dans la section suivante, une analyse dynamique est effectuée sur ce schéma, pour montrer ses performances qualitatives sur des racines simples et multiples. S’agissant d’une méthode itérative avec mémoire, il faut utiliser des dynamiques réelles multidimensionnelles.

3. Étude qualitative des méthodes itératives proposées avec mémoire pour racines multiples

Remarquons que notre méthode utilise trois itérations précédentes pour générer la suivante ; par conséquent, on peut exprimer en général un

où x0, x−1 et x−2 sont les estimations initiales. En utilisant la procédure définie dans la référence [14], cette méthode peut être décrite comme un système dynamique multidimensionnel réel discret, et son comportement qualitatif peut être analysé

Les performances qualitatives du système dynamique sont un élément clé dans la caractérisation de leurs points fixes, en termes de stabilité. Pour calculer les points fixes de 1 SF Υ, on peut définir une fonction vectorielle auxiliaire M : R3 −→ R3, liée à 1 SF Υ par :

De plus, s'il existe une valeur propre λi de la matrice jacobienne M{{0}} évaluée en un point fixe x ∗ satisfaisant |λi|< 1 et un autre λj tel que |λj|> 1, alors x ∗ est appelé point fixe selle. En extension du concept en dynamique unidimensionnelle, si les valeurs propres de M0 (x ∗ ) satisfont |λj |=0 pour toutes les valeurs de j=1, 2, . . . , m, alors le point fixe x ∗ est non seulement attirant mais aussi surattractif. Par conséquent, la méthode a une convergence quadratique, au moins sur la classe de fonctions non linéaires qui dérivent la fonction rationnelle (voir Référence [12]).

En considérant x ∗ un point fixe attractif de M, son bassin d'attraction A(x ∗ ) est défini comme l'ensemble des préimages de tout ordre

Les performances qualitatives de différents schémas itératifs conçus pour résoudre des équations non linéaires à racines multiples ont été étudiées par différents auteurs (voir, par exemple, la référence [17-19]). Il a été réalisé en utilisant des dynamiques complexes discrètes, car tous ces schémas sont sans mémoire. Dans ces études, il a été constaté que, lorsqu'une méthode itérative (sans mémoire) conçue pour trouver des racines multiples agit sur une fonction non linéaire à racines simples et multiples, il est assez habituel que les bassins d'attraction des racines simples soient plus étroits que ceux à racines multiples. En effet, ces racines simples peuvent définir des points fixes de la fonction rationnelle qui sont répulsifs. Par conséquent, la méthode itérative ne devrait pouvoir trouver que plusieurs racines.

L'analyse qualitative suivante est effectuée sur p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Supérieur ou égal à 1 afin que la capacité du schéma à trouver à la fois simple et plusieurs racines (de multiplicité m) sont testées.

Un outil très utile pour visualiser les résultats analytiques est le plan dynamique du système, composé d’un ensemble de différents bassins d’attraction. Ici, le plan dynamique de la méthode proposée gTM est construit en calculant l'orbite d'un maillage de 800 × 800 points de départ (z, x) pour une valeur fixe de w dans la grille de départ. Comme les schémas itératifs doivent commencer avec trois estimations initiales, nous générons un maillage de plans dynamiques, chacun d'eux avec une valeur fixe de w dans l'intervalle [−1,75, 1,75]. Dans ces portraits de phase, chaque point du maillage est peint de couleurs différentes (orange et vert dans ce cas), en fonction de l'attracteur vers lequel ils convergent (marqué par une étoile blanche), avec une tolérance de 10−3. De plus, ils apparaissent en noir si l’orbite n’a atteint aucun point fixe attractif en 500 itérations maximum. Lorsque la valeur fixe de w est modifiée dans un vecteur de valeurs appartenant à [−1,75, 1,75], cela donne une composition de chiffres pour chaque multiplicité, donnant lieu à une sorte de tracé de contour.

Dans la figure 1, nous montrons les performances du schéma gTM sur p(x), c'est-à-dire l'opérateur rationnel TM pour les racines simples. En observant le comportement des différentes parcelles avec les trois premières itérations variant chacune dans [−2, 2], la faisabilité stable est remarquée. Les bassins d'attraction des racines sont les seuls ; ils sont larges, et la seule performance différente (meilleure que d'autres en termes de simplicité de la frontière entre les bassins) est le cas w=0, où la fonction rationnelle est simplifiée. Dans tous les cas, on observe que le seul comportement possible de la méthode gTM est la convergence vers les racines.

En revanche, sur la figure 2, nous montrons une performance très similaire lorsque l’une des racines est double et l’autre simple. Les bassins d'attraction sont également larges, et ce comportement est très similaire lorsque d'autres multiplicités ont été explorées. De plus, dans ce cas, on constate qu'il n'y a qu'une convergence vers les racines, car les zones plus sombres ont seulement une convergence plus lente, en raison de la plus grande complexité de la limite des bassins d'attraction.

4. Performances numériques et tests dynamiques

Dans cette section, nous comparons trois méthodes, à savoir SM2 (nécessitant la connaissance de la multiplicité), SM1 et gTM (dérivée de la méthode de Traub). Les deux dernières méthodes ne nécessitent pas la connaissance de la multiplicité, mais nécessitent des évaluations fonctionnelles supplémentaires par étape d'itération (trois dans le cas de SM1, deux dans le cas de gTM).

Les méthodes sont comparées tant qualitativement via les bassins d'attraction que quantitativement via plusieurs mesures. Ces mesures représentent le temps d'exécution du processeur pour exécuter la méthode sur des points dans un carré de 6 x 6 centré sur l'origine. Nous avons divisé le carré par des lignes horizontales et verticales uniformément réparties et avons pris tous les points d'intersection comme points initiaux du processus itératif.

Pour TM, une méthode avec mémoire, nous avons dû prendre deux points de départ supplémentaires x−1=x0 + d et x−2=x0 + 2d, où d est le espacement des lignes. Un autre critère collecté par le code est le nombre moyen d'itérations par point (AIPP), mais, comme les méthodes nécessitent un nombre différent d'évaluations fonctionnelles par étape, nous avons pris le nombre moyen de fonctions par point (AFPP). Le troisième critère est le nombre de points divergents (DP), qui est le nombre de points pour lesquels la méthode n'a pas convergé en 40 itérations en utilisant une tolérance de 10−7.

D'après la figure 3, il est clair que SM1 et SM2 ont des bassins similaires et que gTM a plus de lobes à la frontière entre les deux bassins. À partir de la figure 4, nous remarquons que gTM est meilleur que SM1. Dans les 3 figures suivantes, gTM est le meilleur, avec des bassins d'attraction plus larges et des zones noires plus étroites sans convergence vers les racines. Cette performance est conservée même pour la fonction non polynomiale f5. De plus, sur la figure 8, on peut remarquer que les bassins d'attraction de la méthode SM2 sont plus larges que notre méthode gTM.

Nous nous référons maintenant aux données des tableaux 1 à 3. Le temps d'exécution du processeur en secondes est indiqué dans le tableau 2. SM2 est systématiquement plus rapide que les autres. Si la multiplicité n'est pas connue, alors gTM est plus rapide que SM1, sauf pour le premier exemple. En moyenne, gTM est plus rapide que SM1.

Le nombre moyen d'évaluations de fonctions par point (voir tableau 2) est le plus élevé pour SM1 pour tous les exemples. Notez que le dernier exemple est le plus difficile pour toutes les méthodes. Le nombre de points divergents est le plus faible pour gTM pour les exemples 1, 3 et 4. SM1 a les points les plus divergents pour les 6 premiers exemples, mais, dans le dernier exemple, gTM a obtenu de mauvais résultats et est devenu la troisième place au classement général. La méthode SM2 était la meilleure, en moyenne, pour les 3 catégories suivie par gTM pour 2 catégories.

5. Conclusions

Un nouveau schéma itératif avec mémoire ayant la capacité de trouver des racines simples et multiples (sans avoir besoin de connaître leur multiplicité) a été construit. Il s’agit, à notre connaissance, de la première méthode présentant ces propriétés dans la littérature. Son ordre de convergence s'est avéré être d'environ 1,84 avec deux nouvelles évaluations fonctionnelles par itération ; cela donne le schéma permettant d'améliorer l'efficacité du schéma de Schröder sans mémoire SM1, qui a des propriétés similaires. En utilisant une dynamique discrète réelle multidimensionnelle et des polynômes de bas degré avec des racines simples et multiples, la stabilité du schéma proposé a été analysée, montrant de larges zones de convergence vers les deux types de racines.

Dans la dernière section, les méthodes de Schröder et gTM exécutées sur plusieurs exemples nous ont permis de conclure que, si la multiplicité est connue à l'avance, alors SM1 et gTM ne peuvent pas rivaliser, même si gTM est meilleur que SM1. Cependant, lorsque la multiplicité n'est pas connue, la méthode gTM proposée montre de très bonnes performances et une meilleure efficacité que les méthodes SM1, en termes de temps d'exécution, de coût de calcul et de largeur des bassins d'attraction.

Contributions d'auteur:

Conceptualisation, AC et JRT ; méthodologie, BN; logiciel, AC et BN ; validation, NE; analyse formelle, JRT ; enquête, AC; rédaction : préparation de l'ébauche originale, AC et BN ; rédaction – révision et édition, JRT ; supervision, BN et JRT Tous les auteurs ont lu et accepté la version publiée du manuscrit.

Financement:

Cette recherche a été partiellement financée par le PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Déclaration de consentement éclairé :

N'est pas applicable.

Remerciements :

Les auteurs tiennent à remercier les réviseurs anonymes pour leurs suggestions et commentaires qui ont amélioré la version finale de ce manuscrit.

Les conflits d'intérêts:

Les auteurs ne déclarent aucun conflit d'intérêt.

Les références

1. Petkovic, M. ; Neta, B. ; Petkovic, L. ; Džuni´c, J. Méthodes multipoints pour résoudre des équations non linéaires ; Presse académique : Oxford, Royaume-Uni, 2013.

2. Amat, S. ; Busquier, S. Avancées des méthodes itératives pour les équations non linéaires ; SEMA SIMAI Springer série 10 ; Springer : Cham, Suisse, 2016.

3. Behl, R. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Un nouveau schéma optimal d'ordre supérieur sans dérivée pour plusieurs racines. J. Informatique. Appl. Mathématiques. 2021, 113773, sous presse. [Référence croisée]

4. Kumar, S. ; Kumar, D. ; Sharma, JR ; Césarano, C. ; Aggarwal, P. ; Chu, YM Un algorithme numérique optimal sans dérivée du quatrième ordre pour plusieurs racines. Symétrie 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S. ; Akram, F. ; Junjua, M. ; Arshad, M. ; Afzal, T. Une famille de fonctions itératives optimales de huitième ordre pour plusieurs racines et sa dynamique. J. Math. 2021, 77, 1249-1272.

6. Sharma, JR ; Arora, H. Une famille de méthodes itératives du cinquième ordre pour trouver plusieurs racines d'équations non linéaires. Numéro. Anal. Appl. 2021, 14, 186-199. [Référence croisée]

7. Kumar, S. ; Kumar, D. ; Sharma, JR ; Argyros, IK Une classe efficace de méthode sans dérivée du quatrième ordre pour les racines multiples. Int. J. Sci non linéaire. Numéro. Simul. 2021. [Référence croisée]

8. Zafar, F. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Une famille de méthodes optimales du quatrième ordre pour les racines multiples d'équations non linéaires. Mathématiques. Méthodes Appl. Sci. 2020, 43, 7869-7884. [Référence croisée]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Mathématiques. Anne. 1870, 2, 317-365. [Référence croisée]

10. Kung, HT; Traub, JF Ordre optimal des itérations à un point et multipoint. J. Assoc. Calculer. Mach. 1974, 21, 643-651. [Référence croisée]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Solution itérative d'équations non linéaires à plusieurs variables ; Presse académique : Cambridge, MA, États-Unis, 1970.

12. Traub, JF Méthodes itératives pour la solution d'équations ; Prentice-Hall : Hoboken, New Jersey, États-Unis, 1964.

13. Ostrowski, AM Solutions d'équations et systèmes d'équations ; Presse académique : New York, NY, États-Unis ; Londres, Royaume-Uni, 1966.

14. Campos, B. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR ; Vindel, P. Une approche dynamique multidimensionnelle des méthodes itératives avec mémoire. Appl. Mathématiques. Calculer. 2015, 271, 701-715. [Référence croisée]

15. Devaney, RL Une introduction aux systèmes dynamiques chaotiques ; Avancées en mathématiques et en ingénierie ; CRC Press : Boca Raton, FL, États-Unis, 2003.

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